Théorème de Gauss - Champ créé par un fil infini

Nous allons voir ici comment calculer la norme du champ électrique créé par un fil infini chargé positivement à une distance r du fil en utilisant le théorème de Gauss. Le résultat doit être le même que celui obtenu en calculant le champ électrostatique créé par un fil infini en utilisant la loi de Coulomb.

Le théorème de Gauss nous donne la valeur du flux d’un champ électrique à travers d’une surface fermée:

Où la somme du second membre est la charge totale contenue dans la surface.

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Pour appliquer le théorème de Gauss, nous devons tout d’abord dessiner les lignes du champ électrique créé par la distribution continue de charge, un fil infini dans ce cas. Nous devons aussi choisir la surface de Gauss à travers de laquelle nous calculerons le flux du champ électrique.

Le fil chargé ainsi que les lignes du champ électrique qu’il crée sont représentés dans la figure ci-dessous. Ces lignes de champ sortent radialement du fil car les charges positives sont des sources de lignes de champ.

La surface de Gauss (un cylindre de rayon r) au travers de laquelle nous calculerons le flux du champ électrique est représenté en rouge. Les vecteurs dS qui correspondent aux bases du cylindre (d’aire S) et à la surface latérale sont eux aussi représentés en rouge.

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Le flux total à travers du cylindre est:

Le flux à travers des bases du cylindre est nul car, comme vous pouvez l’observer dans la figure, il n’y a aucune ligne de champ qui les traverse. L’unique contribution au flux est par conséquent celle associée à la surface latérale du cylindre. Les vecteurs E et dS sont parallèles pour la surface latérale du cylindre, par conséquent nous avons:

l est la hauteur du cylindre.

Et en utilisant de la définition de la densité linéique de charge, nous obtenons:

Ce qui est bien le même résultat que celui obtenu en appliquant la loi de Coulomb pour calculer le champ électrostatique créé par un fil infini en utilisant la loi de Coulomb.

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