Statique - Barre et poulie

Énoncé:

Une barre homogène de longueur L = 10 m et de masse M = 0.5 kg est attachée à un mur par l’intermédiaire d’une articulation (voir la figure). La barre est aussi attachée par son centre d’inertie (ou centre de masse) à une corde qui passe par une poulie de masse négligeable et à laquelle est attachée une masse m2 = 0.2 kg. Le système est en équilibre statique. Déterminez:

  1. la tension de la corde.
  2. la valeur de l’angle β.
  3. les composantes de la réaction pour l’articulation.

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Solution:

Nous allons dans un premier temps dessiner les forces qui agissent sur le système barre – masse:

La tension de la corde et la force gravitationnelle (le poids) agissent sur la masse m2. La masse de la poulie est négligeable, nous ne l’utiliserons donc pas pour résoudre le problème. La barre est soumise au poids, à la tension de la corde et aux deux composantes de la réaction pour l’articulation que nous calculerons séparément.

Pour calculer la tension de la corde nous utilisons uniquement la partie droite de la figure, c’est à dire les forces qui agissent sur la masse m2. Comme elle se trouve au repos, la deuxième loi de Newton pour cette masse est:

Nous allons maintenant faire la projection des vecteurs de la deuxième loi de Newton sur l’axe y en prenant en compte le sens positif des axes tels qu’ils sont représentés dans la figure précédente:

Comme la poulie a une masse négligeable, la tension de la corde qui soutient la barre aura la même norme.


Pour calculer l’angle β et les composantes de la réaction pour l’articulation nous utilisons les deux conditions de l’équilibre statique pour la barre:

Si nous prenons en compte les forces externes qui agissent sur la barre et qui sont représentées dans la figure précédente, la première condition est:

Nous faisons maintenant la projection sur les axes x et y en prenant en compte les sens positifs définis dans la figure. Nous avons représenté les angles nécessaires pour calculer les projections des forces sur les axes dans la figure ci-dessous:

Le système constitué par les équations (1) et (2) ont trois inconnues: β, Rx et Ry. Nous avons donc besoin d’une troisième équation pour pouvoir le résoudre, nous utiliserons la deuxième condition de l’équilibre statique pour la barre.

Cette condition doit être vraie pour n’importe quel point utilisé pour origine des moments. Nous utiliserons le point A représenté dans la figure pour résoudre ce problème.

Rappelons nous que le moment d’une force est:

Et sa norme:

Où θ est l’angle formé par les deux vecteurs.

Et où r est un vecteur qui va de l’origine des moments jusqu’au point d’application de la force.

La deuxième condition de l’équilibre statique appliqué à la barre est:

Les deux premiers termes de l’expression précédente sont nuls car les forces Rx et Ry sont appliquées au point A, et par conséquent le vecteur r est nul pour les deux.

Nous allons calculer les deux moments restants qui apparaissent dans l’équation précédente.

Poids P1: Le moment de P1 est:

Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure ci-dessous. En appliquant la règle de la main droite, nous obtenons que le produit vectoriel est perpendiculaire au plan de l’écran et qu’il pointe vers l’intérieur (-k).

Nous avons déplacé le poids au point A (représenté en rose) afin que la direction et le sens du produit vectoriel apparaissent plus clairement.

La norme du moment du poids est données par:


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Tension T: Le moment de T est:

Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure ci-dessous. En appliquant la règle de la main droite, nous obtenons que le produit vectoriel est perpendiculaire au plan de l’écran et qu’il pointe vers l’extérieur (k).

La norme du moment est:

Nous avons représenté les deux moments dans la figure ci-dessous (ils ne sont pas à l’échelle).

Nous pouvons maintenant faire la projection de la deuxième condition de l’équilibre statique sur l’axe z:

Et en faisant la substitution des normes pour les deux vecteurs nous obtenons:

Les équations (1), (2) y (3) vont nous permettre de résoudre le problème. Nous les avons écrites ensemble ci-dessous pour plus de commodité:

Nous obtenons l’angle β à partir de l’équation (3):

Nous obtenons Rx à partir de l’équation (1):

Et finalement nous obtenons Ry à partir de l’équation (2):

Le signe moins indique que Ry a un sens contraire à celui indiqué dans la figure.

Pour résoudre le problème nous avons pris comme valeur d’accélération de la gravité g = 10 m/s2.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

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