Una varilla homogénea de longitud L = 1 m y masa M = 0.5 kg está sujeta a la pared mediante una articulación, como indica la figura. La varilla está sujeta por su centro de masas a una cuerda que pasa por una polea de masa despreciable, de la cual cuelga una masa m2 = 0.2 kg. El sistema se encuentra en equilibrio estático. Determinar:
- la tensión de la cuerda.
- el valor del ángulo β.
- las componentes de la reacción en la articulación.
Solución:
En primer lugar vamos a dibujar las fuerzas que actúan sobre el sistema varilla – masa:
Sobre la masa m2 actúan la tensión de la cuerda y la fuerza gravitatoria (peso). La masa de la polea es despreciable, por lo que no la tendremos en cuenta a la hora de resolver el problema. Sobre la varilla actúan su peso, la tensión de la cuerda y las dos componentes de la reacción en la articulación, que calcularemos de manera independiente.
Para calcular la tensión de la cuerda consideramos únicamente la parte derecha de la figura, esto es, las fuerzas que actúan sobre la masa m2. Como se encuentra en reposo, la segunda ley de Newton para dicha masa es:
A continuación proyectamos la segunda ley de Newton sobre el eje y. En el dibujo anterior están representados los vectores unitarios que definen el sentido positivo de los ejes. Teniendo en cuenta dicho criterio de signos:
Como la polea tiene masa despreciable, la tensión de la cuerda que sujeta la varilla tendrá el mismo módulo.
Para calcular el ángulo β y las componentes de la reacción en la articulación imponemos a la varilla las dos condiciones de equilibrio estático:
Teniendo en cuenta las fuerzas externas que actúan sobre la varilla que hemos representado en la figura anterior, la primera condición es:
A continuación proyectamos sobre los ejes x e y teniendo en cuenta el sentido positivo de los mismos definido en la figura. En la siguiente figura se han representado los distintos ángulos necesarios para calcular las proyecciones de las fuerzas sobre los ejes:
El sistema constituido por las ecuaciones (1) y (2) tiene tres incógnitas: β, Rx y Ry. Para resolverlo necesitamos por tanto una tercera ecuación, que sale de imponer a la varilla la segunda condición de equilibrio estático.
Esta condición debe cumplirse para cualquier punto que tomemos como origen de torques. Para resolver este problema utilizaremos el punto A representado en la figura.
Recordemos que el torque (o momento de una fuerza) se define:
Y su módulo:
Donde θ es el ángulo formado por ambos vectores.
Donde r es un vector que va desde el origen de momentos hasta el punto de aplicación de la fuerza.
La segunda condición de equilibrio estático aplicada a la varilla es:
Los dos primeros términos de la expresión anterior son nulos porque las fuerzas Rx y Ry están aplicadas en el punto A y, por tanto, el vector r es nulo para las dos.
Vamos a calcular los dos torques restantes que aparecen en la ecuación anterior.
Peso P1: El torque de P1 es:
En la siguiente figura tienes representados ambos vectores. Aplicando la regla de la mano derecha, la dirección del producto vectorial es perpendicular a la pantalla y el sentido hacia adentro de la misma (-k).
En la figura se ha trasladado el peso al punto A (representado en rosa) para que veas más claramente la dirección y sentido del producto vectorial.
El módulo del torque del peso viene dado por:
Tensión T: El torque de T es:
En la siguiente figura tienes representados ambos vectores. Aplicando la regla de la mano derecha, la dirección del producto vectorial es perpendicular a la pantalla y el sentido hacia afuera de la misma (k).
El módulo del torque es:
En la figura siguiente están representados ambos torques (no están a escala).
Por tanto ya podemos proyectar la segunda condición de equilibrio estático sobre el eje z:
Y sustituyendo los módulos de los dos vectores obtenemos:
Las ecuaciones (1), (2) y (3) van a permitirnos resolver el problema. Por comodidad escribiremos a continuación las tres juntas:
De la ecuación (3) obtenemos el ángulo β:
De la ecuación (1) obtenemos Rx:
Finalmente, de la ecuación (2) obtenemos Ry:
El signo menos indica que Ry tiene signo contrario al indicado en la figura.
En el problema se ha tomado como valor de la aceleración de la gravedad g = 10 m/s2.
No olvides poner las unidades en los resultados de los problemas.
La página Estática – Varilla y polea ha sido originalmente publicada en YouPhysics
