Un móvil consiste en una varilla homogénea de masa m = 0.02 kg y longitud l = 0.4 m sujeta al techo por una cuerda de masa despreciable. Dos objetos (considerados puntuales) están suspendidos como se indica en la figura. La masa del objeto 1 es m1 = 0.06 kg. Si la distancia x que se muestra en la figura es de 0.1 m, determinar el valor de la masa m2 para que el sistema esté en equilibrio estático en la posición indicada. Calcular la tensión de la cuerda.
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Solución:
Para resolver este problema debemos dibujar las fuerzas externas que actúan sobre el sistema representado en la figura: varilla + m1 + m2. Sobre cada una de las masas actuará la fuerza gravitatoria (el peso) y además actuará la tensión de la cuerda mediante la cual el móvil está colgado del techo. La tensión que actúa sobre la cuerda que une m2 a la varilla del móvil no se tiene en cuenta ya que es una fuerza interna (sobre el sistema actúan la fuerza y su reacción).
Para facilitar la representación de dichas fuerzas consideraremos que las masas son puntuales. El peso de la varilla está aplicado en su centro de masas. Como es homogénea, el centro de masas de la varilla se encuentra a una distancia l/2 del extremo de la varilla. A continuación tienes representadas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema:
Para que un sistema esté en equilibrio estático deben cumplirse dos condiciones:
La primera condición (que es la segunda ley de Newton aplicada a un sistema) implica que el centro de masas del sistema no tiene aceleración (lineal), por lo que el sistema no se traslada.
La segunda condición implica que el sistema no tiene aceleración angular, por lo que el sistema no rota. Esta condición debe cumplirse con independencia del punto que elijamos para calcular los torques (o momentos) de las fuerzas externas.
En la figura anterior tenemos representadas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Por tanto, para que la resultante de dichas fuerzas sea cero debe cumplirse:
A continuación proyectamos la ecuación vectorial anterior sobre el eje y. En este problema no es necesario proyectar sobre los otros dos ejes porque todas las fuerzas son verticales. A la izquierda de la figura tienes también representados los sentidos positivos de los ejes cartesianos.
Observa que en la ecuación (1) se han tenido en cuenta los signos de las proyecciones, y el hecho de que la proyección de un vector sobre un eje es una magnitud escalar.
La ecuación (1) tiene dos incógnitas (T y m2). Por tanto necesitamos una ecuación adicional para resolver el problema. Dicha ecuación la obtendremos aplicando la segunda condición de equilibrio estático.
La condición anterior debe cumplirse para cualquier punto que elijamos para calcular el torque de las fuerzas. En este caso emplearemos el punto O de la figura:
El torque (o momento) de una fuerza cualquiera F viene dado por:
Donde r es un vector que va desde el punto que hemos elegido como origen para calcular el torque hasta el punto de aplicación de la fuerza F. Como todo producto vectorial, el vector anterior tiene una dirección y sentido dados por la regla de la mano derecha y su módulo es:
Siendo θ el ángulo formado por los dos vectores.
A continuación vamos a determinar el torque de cada una de las fuerzas implicadas en el problema.
Tensión T: La tensión está aplicada en el punto O, por lo que para ella r = 0 y su torque es nulo.
Peso P1: El torque de P1 es:
En la siguiente figura tienes representados ambos vectores:
Utilizando la regla de la mano derecha, la dirección y sentido del producto vectorial de ambos es perpendicular a la pantalla y hacia adentro (-k).
El módulo del torque viene dado por:
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Peso P2: El torque de P2 es:
En la siguiente figura tienes representados ambos vectores:
Utilizando la regla de la mano derecha, la dirección y sentido del producto vectorial de ambos es perpendicular a la pantalla y hacia afuera (k).
El módulo del torque viene dado por:
Como puedes observar en la figura anterior, para calcular el torque de P2 no hemos tenido en cuenta la cuerda de la que está colgada la masa m2. En la siguiente figura puede verse la razón.
Si tomamos el vector rT para calcular el momento de P2, podemos escribirlo como la suma de los vectores r y rp. Pero al hacer el producto vectorial el término correspondiente a rp se anula porque rp es paralelo a P2 y el producto vectorial de dos vectores paralelos es cero:
Peso P: El torque de P es:
En la siguiente figura tienes representados ambos vectores:
Utilizando la regla de la mano derecha, la dirección y sentido del producto vectorial de ambos es perpendicular a la pantalla y hacia adentro (-k).
El módulo del torque viene dado por:
En la siguiente figura se han representado en tres dimensiones los torques de los tres pesos (no están a escala):
Ahora ya tenemos toda la información para trabajar con la ecuación de los torques:
Como todos ellos están sobre el eje z, vamos a proyectar la ecuación anterior sobre dicho eje:
Y sustituyendo el módulo de cada uno de los torques:
De la ecuación (2) y sustituyendo los datos del problema obtenemos el valor de la masa m2:
De la ecuación (1) obtenemos la tensión de la cuerda:
Donde se ha tomado como valor de la aceleración de la gravedad g = 10 m/s2.
No olvides poner las unidades en los resultados de los problemas.
La página Estática – Móvil colgado ha sido originalmente publicada en YouPhysics
