Statique - Mobile suspendu

Énoncé:

Un mobile est constitué d’une barre homogène de masse m = 0.02 kg et de longueur l = 0.4 m. Il est suspendu au plafond par une corde de masse négligeable. Deux objets (considérés ponctuels) sont suspendus à la barre (voir la figure). La masse de l’objet 1 est m1 = 0.06 kg. Si la distance x de la figure est 0.1 m, déterminez quelle doit être la masse m2 de l’objet 2 pour que le système soit en équilibre statique dans la position représentée dans la figure. Calculez la tension de la corde.

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Solution:

Pour résoudre ce problème nous allons d’abord dessiner les forces externes qui agissent sur le système représenté dans la figure: la barre + m1 + m2. Chacun de ces trois objets subit l’action de la force gravitationnelle de la Terre (le poids). Il y a d’autre part la tension de la corde qui attache le mobile au plafond. La tension qui agit sur la corde entre m2 et la barre du mobile n’est pas prise en compte car c’est une force interne (la force et sa réaction agissent sur le système).

Pour que la représentation de ces forces soit plus simple nous considérons que les masses sont ponctuelles. Le poids de la barre est appliqué au centre de masse (ou centre d’inertie). Comme la barre est homogène, son centre de masse se trouve à une distance l/2 de son extrémité (en son milieu). Nous avons représenté les forces externes qui agissent sur le système dans la figure ci-dessous:

Pour qu’un système soit en équilibre statique il doit vérifier les deux conditions suivantes:

La première condition (qui est la deuxième loi de Newton appliquée à un système) implique que le centre de masse du système n’ait pas d’accélération linéaire, et que par conséquent le système ne se déplace pas.

La deuxième condition implique que le système n’ait pas d’accélération angulaire, c’est à dire qu’il ne tourne pas. Cette condition doit être vraie indépendamment du point que nous choisissons pour calculer les moments des forces externes.

Nous avons représenté les forces externes qui agissent sur le système dans la figure ci-dessus. Par conséquent, pour que la somme vectorielle des ces forces soit nulle, il faut que:

Nous faisons maintenant la projection de l’équation vectorielle précédente sur l’axe y. Il n’est pas nécessaire de faire la projection sur les deux autres axes du référentiel car dans ce problème toutes les forces sont verticales. Le sens positif des axes cartésiens est indiqué dans la partie gauche de la figure.

Remarquez que nous avons pris en compte les signes des projections dans l’équation (1), et le fait que la projection d’un vecteur sur un axe est une grandeur scalaire.

L’équation (1) a deux inconnues (T et m2). Nous avons donc besoin d’une équation additionnelle afin de pouvoir résoudre ce problème. Nous obtiendrons cette seconde équation en utilisant la deuxième condition de l’équilibre statique.

La condition ci-dessus doit être vraie pour n’importe quel point choisi pour calculer le moment des forces. Nous choisirons ici le point O de la figure:

Le moment d’une force quelconque F est défini par:

r est un vecteur qui part du point choisi comme origine pour calculer le moment et va jusqu’au point d’application de la force F. Comme pour tout produit vectoriel, celui-ci a une direction et un sens qui sont déterminés par la règle de la main droite et sa norme est:

Où θ est l’angle formé par les deux vecteurs.

Nous allons maintenant déterminer le moment pour chacune des forces impliquées dans le problème.

Tension T: La tension est appliquée au point O, pour elle r = 0 et par conséquent son moment est nul.


Poids P1: Le moment de P1 est:

Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure suivante:

En utilisant la règle de la main droite, nous obtenons que le produit vectoriel est perpendiculaire au plan de l’écran et qu’il est orienté vers l’intérieur (-k).

La norme du moment est:


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Poids P2: Le moment de P2 est:

Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure suivante:

En utilisant la règle de la main droite, nous obtenons que le produit vectoriel est perpendiculaire au plan de l’écran et qu’il est orienté vers l’extérieur (k).

La norme du moment est:

Comme vous pouvez le constater dans la figure ci-dessus, pour calculer le moment de P2, nous n’avons pas pris en compte la corde à laquelle est attachée la masse m2. La raison est indiquée dans la figure suivante.

Si nous utilisons le vecteur rT pour calculer le moment de P2, nous pouvons l’écrire comme la somme des vecteurs r et rp. Mais dans ce produit vectoriel, le terme qui correspond à rp s’annule car rp est parallèle à P2 et le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles est nul:


Poids P: Le moment de P est:

Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure suivante:

En utilisant la règle de la main droite, nous obtenons que le produit vectoriel est perpendiculaire au plan de l’écran et qu’il est orienté vers l’intérieur (-k).

La norme du moment est:


Dans la figure suivante nous avons représenté les moments des trois poids (ils ne sont pas à l’échelle) en trois dimensions:

Nous avons maintenant toute l’information pour utiliser l’équation des moments:

Comme il sont tous sur l’axe z, nous faisons la projection de l’équation précédente sur cet axe:

En faisant la substitution avec la norme de chacun des moments nous obtenons:

À partir de l’équation (2) et en faisant la substitution avec les données du problème nous obtenons la valeur de la masse m2:

À partir de l’équation (1) nous obtenons la tension de la corde:

Nous avons pris g = 10 m/s2 pour la résolution de ce problème.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

 

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