La figure ci-dessous représente une grue (pour simplifier nous négligerons sa masse) dont les bras ont des longueurs d et 2d respectivement. Une masse m est fixe à gauche et une autre masse m est mobile et peut se déplacer horizontalement le long des bras de la grue. Une autre masse M est accrochée à l’extrémité du bras droit. Le système est en équilibre statique. Déterminez:
- la distance x par rapport à l’origine O à laquelle doit se situer la masse mobile m si la masse M = m/4.
- La valeur de M si la masse mobile m se trouve à l’origine O des coordonnées.
- la valeur maximale de M que peut supporter la grue.
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Solution:
Pour résoudre ce problème nous utiliserons la condition de l’équilibre statique pour qu’un système ne tourne pas (équation de la rotation):
Nous dessinons dans un premier temps les forces qui agissent sur le système. Les seules forces relevantes pour la résolution du problème sont les poids des différentes masses, nous n’avons pas besoin de prendre en compte la tension des cables ou les réactions car ce sont des forces internes. Pour simplifier, nous considérons les masses comme des particules ponctuelles.
Dans le problème 1 nous avons vu que pour calculer les moments des poids nous pouvons négliger les cordes dont elles pendent, dans la figure ci-dessous elles apparaissent donc sur l’axe x des bras de la grue.
L’équation de la rotation pour ce système est:
Nous allons maintenant calculer la norme, la direction et le sens des moments qui apparaissent dans l’équation précédente.
Poids P1: Le moment de P1 est:
Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure ci-dessous:
En utilisant la règle de la main droite nous déduisons que le produit vectoriel des deux est perpendiculaire à l’écran et orienté vers l’extérieur (k).
La norme du moment est:
Poids P2: Le moment de P2 est:
Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure ci-dessous:
En utilisant la règle de la main droite nous déduisons que le produit vectoriel des deux est perpendiculaire à l’écran et orienté vers l’intérieur (-k).
La norme du moment est:
Poids P: Le moment de P est:
Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure ci-dessous:
En utilisant la règle de la main droite nous déduisons que le produit vectoriel des deux est perpendiculaire à l’écran et orienté vers l’intérieur (-k).
La norme du moment est:
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Nous avons représenté les moments des trois poids (ils ne sont pas à l’échelle) en trois dimensions dans le dessin ci-dessous:
Cette représentation est utile pour déterminer les sens des projections des vecteurs de l’équation de la rotation sur l’axe z. Il n’est pas nécessaire de faire la projection sur les axes x et y car les moments n’ont pas de composantes sur ces deux axes.
La projection de l’équation de la rotation sur l’axe z est par conséquent:
Et en faisant la substitution des normes calculées précédemment nous obtenons:
L’équation (1) va nous permettre de résoudre tous les points du problème.
Si M = m/4, nous pouvons déterminer la valeur de x en faisant la substitution dans l’équation (1):
Si x = 0, nous pouvons déterminer la valeur de M en utilisant la même équation:
Pour supporter la valeur maximale de M, la masse mobile m doit se trouver en x = -d. En faisant la substitution dans l’équation (1) nous obtenons:
