En la siguiente figura se ha representado una grúa (despreciaremos su masa), cuyos brazos tienen longitudes d y 2d respectivamente. La masa m de la izquierda está fija y la otra masa móvil m puede desplazarse horizontalmente a lo largo de los brazos de la grúa. Del extremo derecho cuelga una masa M. El sistema se encuentra en equilibrio estático. Determinar:
- la distancia desde el origen a la que debe colocarse la masa móvil si M = m/4.
- el valor de M si la masa móvil m se encuentra en el origen de coordenadas.
- el valor máximo de M que puede sostener la grúa.
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Solución:
Para resolver este problema utilizaremos la condición de equilibrio estático para que un sistema no rote (ecuación de la rotación):
En primer lugar dibujaremos las fuerzas que actúan sobre el sistema. Las únicas relevantes para la resolución del problema son los pesos de las distintas masas, por lo que no tendremos en cuenta la tensión de los cables ni las reacciones. Para simplificar, consideraremos las masas como partículas puntuales.
En el problema 1 ya vimos que para calcular los torques de los pesos podemos despreciar las cuerdas que sujetan las masas, por lo que en el siguiente dibujo las representaremos pegadas a la grúa.
La ecuación de la rotación para este sistema es:
A continuación vamos a calcular (módulo, dirección y sentido) los torques que aparecen en la ecuación anterior.
Peso P1: El torque de P1 es:
En la figura siguiente están representados ambos vectores:
Utilizando la regla de la mano derecha, la dirección y sentido del pruducto vectorial de ambos es perpendicular a la pantalla y hacia afuera (k).
El módulo del torque viene dado por:
Peso P2: El torque de P2 es:
En la figura siguiente están representados ambos vectores:
Utilizando la regla de la mano derecha, la dirección y sentido del pruducto vectorial de ambos es perpendicular a la pantalla y hacia adentro (-k).
El módulo del torque viene dado por:
Peso P: El torque de P es:
En la siguiente figura tienes representados ambos vectores:
Utilizando la regla de la mano derecha, la dirección y sentido del pruducto vectorial de ambos es perpendicular a la pantalla y hacia adentro (-k).
El módulo del torque viene dado por:
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En el siguiente dibujo están representados en tres dimensiones los torques de los tres pesos (no están a escala):
Esta representación es útil para determinar los signos de las proyecciones de cada uno de los vectores sobre el eje z al proyectar la ecuación de la rotación sobre dicho eje. No es necesario proyectar sobre los ejes x e y porque los torques no tienen componentes a lo largo de dichos ejes.
La proyección de la ecuación de la rotación sobre el eje z queda entonces:
Y sustituyendo los módulos previamente calculados:
La ecuación (1) va a permitirnos resolver todos los apartados del problema.
Si M = m/4, podemos determinar el valor de x sustituyendo en la ecuación (1):
Si x = 0, podemos determinar el valor de M utilizando la misma ecuación:
La grúa sostendrá el máximo valor de M cuando la masa móvil se encuentre en x = -d. Sustituyendo en la ecuación (1):
