Dynamique de rotation - Roulement sans glissement

Énoncé:

Un disque plein homogène de masse M et de rayon R dévale un plan incliné en roulant. Le coefficient de frottement entre le disque et le plan est μ = 0.15. Déterminez l’angle maximum θ pour que le disque roule sans glisser.

Données: Le moment d’inertie d’un disque par rapport à un axe qui passe par son centre de masse est ICM = (1/2)MR2.

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Solution:

Pour résoudre ce problème nous devons prendre en compte que la force de frottement a une valeur différente selon que le disque roule ou qu’il glisse. Nous la déterminerons tout d’abord pour la première situation.

Le mouvement du disque est composé de la translation de son centre de masse par rapport à un référentiel au repos et d’une rotation par rapport à un axe qui passe par son centre de masse. Nous utiliserons par conséquent la deuxième loi de Newton (pour décrire sa translation) et la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation:

Nous commençons par dessiner les forces externes qui agissent sur le disque. Son centre d’inertie (ou de masse) se trouve au centre car le disque est homogène, et le poids est appliqué au centre d’inertie. Nous avons représenté les axes cartésiens que nous utiliserons pour calculer les projections des différents vecteurs dans la figure.

La deuxième loi de Newton appliquée au centre d’inertie de disque est:

Nous faisons maintenant la projection sur les axes. Vous pouvez consulter le problème 6 de dynamique d’une particule pour voir comment le faire.

Nous allons maintenant écrire la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation pour le disque. Rappelez vous que le moment d’une force est:

r est un vecteur qui va du point que nous utiliserons pour calculer les moments (dans ce problème nous utiliserons le centre de masse du disque) jusqu’au point d’application de la force.

La deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation pour le disque est:

Moment du poids P: Comme le poids est appliqué au centre d’inertie du disque, qui est le point que nous avons choisi comme origine pour calculer les moments, r = 0 pour lui et par conséquent τP = 0.


Moment de la normale N: Dans la figure suivante nous avons représenté la force normale avec son vecteur r.

Comme r et N forment un angle de 1800, leur produit vectoriel (le moment) est nul.


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Moment de la force de frottement FR: Le moment de la force de frottement est:

Sa norme est:

Dans la figure suivante nous avons représenté les deux vecteurs. La direction et le sens du produit vectoriel sont déterminés en utilisant la règle de la main droite. Comme vous pouvez le constater sur la figure, le vecteur moment est dirigé dans le sens –k.

À partir de l’analyse précédente nous pouvons déduire que la seule force qui a un moment par rapport au centre de masse du disque est la force de frottement.

Par conséquent, l’équation de la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation pour disque est:

Le moment d’inertie est un scalaire positif; par conséquent le vecteur accélération angulaire est parallèle au moment de la force de frottement. En faisant la projection sur l’axe z nous obtenons:

Si le disque roule sans glisser, la condition de roulement doit être vérifiée:

En la substituant dans l’équation (3) avec le moment d’inertie du disque nous obtenons la valeur de la force de frottement:

Nous pouvons d’autre part déduire l’accélération du centre d’inertie à partir de l’équation (1):

Et en utilisant l’équation (4) nous obtenons la valeur de la force de frottement en fonction de l’angle du plan:

L’équation (5) nous donne la valeur de la force de frottement lorsque le disque roule sans glisser. Si on augmente l’angle du plan, le disque commencera à glisser à partir d’un certain angle. À ce moment la force de frottement sera:

Nous avons obtenu la valeur de la normale à partir de l’équation (2).

En faisant l’égalité des équations (5) et (6) nous pouvons déterminer quel est l’angle à partir duquel le disque commencera à glisser:

Cet angle est l’angle maximum que peut avoir le plan pour que le disque roule sans glisser. Remarquez qu’il ne dépend pas de la masse du disque.

 

 

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