Un disco macizo homogéneo de masa M y radio R desciende rodando por un plano inclinado. El coeficiente de rozamiento entre el disco y el plano es μ = 0.15. Determinar el ángulo máximo θ del plano para que el disco ruede sin deslizar.
Dato: Momento de inercia de un disco con respecto a un eje que pasa por su centro de masas, ICM = (1/2)MR2
Solución:
Para resolver este problema debemos tener en cuenta que la fuerza de rozamiento tiene un valor diferente cuando el disco rueda que cuando desliza. En primer lugar la determinaremos para la primera situación.
El disco describe un movimiento que es la composición de la traslación de su centro de masas con respecto a un sistema de referencia en reposo y una rotación con respecto a un eje que pasa por su centro de masas. Por tanto para describir su movimiento necesitaremos la segunda ley de Newton (para describir la traslación) y la ecuación de la dinámica de rotación:
Empezamos dibujando las fuerzas externas que actúan sobre el disco. Su centro de masas se encuentra en el centro, ya que es homogéneo, y el peso está aplicado en el centro de masas. En la figura están representados los ejes cartesianos que utilizaremos para calcular las proyecciones de los distintos vectores.
La segunda ley de Newton aplicada al centro de masas del disco es:
A continuación la proyectamos sobre los ejes. Si quieres ver con más detalle cómo se determinan las proyecciones puedes consultar el problema 6 de dinámica de una partícula.
Vamos a escribir ahora la ecuación de la dinámica de rotación aplicada al disco. Recordemos que el torque (o momento) de una fuerza viene dado por:
Donde r es un vector que va desde el punto que utilicemos como origen para calcular los torques (en este problema el centro de masas del disco) hasta el punto de aplicación de la fuerza.
La ecuación de la rotación aplicada al disco es:
Torque del peso P: Como el peso está aplicado en el centro de masas del disco, punto que hemos elegido como origen para calcular los torques, para él r = 0 y por tanto τP = 0.
Torque de la normal N: En la siguiente figura se han representado la fuerza normal junto con su vector r.
Como r y N forman un ángulo de 1800, su producto vectorial (torque) es nulo.
Torque de la fuerza de rozamiento FR: El torque de la fuerza de rozamiento viene dado por:
Su módulo es:
En la siguiente figura están representados ambos vectores. La dirección y sentido del producto vectorial se determinan utilizando la regla de la mano derecha. Como se observa en la figura, el vector torque está dirigido en el sentido –k.
Del análisis anterior se deduce que la única fuerza que tiene torque no nulo con respecto al centro de masas del disco es la fuerza de rozamiento.
Por tanto, la ecuación de la dinámica de rotación para el disco queda:
El momento de inercia es un escalar positivo; por tanto el vector aceleración angular es paralelo al torque de la fuerza de rozamiento. Proyectando sobre el eje z:
Si el disco rueda sin deslizar, debe cumplirse la condición de rodadura:
Y sustituyéndola en la ecuación (3) junto con el momento de inercia del disco obtenemos el valor de la fuerza de rozamiento:
Por otra parte de la ecuación (1) podemos despejar la aceleración del centro de masas:
Y utilizando la ecuación (4) obtenemos el valor de la fuerza de rozamiento en función del ángulo del plano:
La ecuación (5) da el valor de la fuerza de rozamiento cuando el disco rueda sin deslizar. Si se aumenta el ángulo del plano, llegará un momento en que el disco empezará a deslizar. En ese momento la fuerza de rozamiento será:
El valor de la normal se ha obtenido a partir de la ecuación (2).
Igualando las ecuaciones (5) y (6) obtenemos el ángulo que debe tener el plano para que el disco empiece a deslizar:
Este será por tanto el ángulo máximo que debe tener el plano para que el disco ruede sin deslizar. Observa que no depende de la masa del mismo.
La página Dinámica de rotación – Rodadura sin deslizamiento ha sido originalmente publicada en YouPhysics
