Un listón homogéneo de longitud L = 2 m está clavado en la pared por su punto medio, de forma que puede girar libremente en torno a ese punto. El listón tiene una masa M = 1 kg, y sobre él se ejercen las fuerzas: F1 = 4 N, F2 = 4 N, F3 = 12 N (ver figura). La distancia d = 0.75 m.
Determinar la aceleración angular α del listón en función del ángulo θ suponiendo que las fuerzas son siempre verticales.
Dato: momento de inercia del listón con respecto a un eje que pasa por su centro de masas ICM = (1/12)ML2
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Solución:
Para determinar la aceleración angular del listón debemos emplear la ecuación de la rotación, que a veces se denomina segunda ley de Newton para la rotación:
Donde Στext es la resultante de los torques de las fuerzas externas, ICM es el momento de inercia del listón con respecto a un eje que pasa por el centro de masas y α la aceleración angular del listón.
Calcularemos el torque de las fuerzas con respecto al centro de masas del listón, ya que el eje de giro pasa por dicho punto.
El torque (o momento) de una fuerza viene dado por:
Donde r es un vector que va desde el origen de momentos hasta el punto de aplicación de la fuerza.
El módulo del vector torque, como de cualquier otro producto vectorial, es:
Donde θ es el ángulo formado por ambos vectores.
La dirección y sentido del producto vectorial se determinan con ayuda de la regla de la mano derecha, como veremos a continuación.
En la figura que acompaña el enunciado del problema están representadas las fuerzas externas que actúan sobre el listón. Sobre él actúan además su peso y la reacción del apoyo. Pero como ambas están aplicadas en el centro de masas, su vector r es nulo y por tanto su torque también. Por tanto no influyen en el movimiento de rotación del listón.
La segunda ley de Newton para la rotación aplicada al listón es:
A continuación vamos a calcular el torque de cada una de las fuerzas.
Fuerza F1: En la siguiente figura está representada la fuerza junto con su vector r:
La dirección y sentido del torque vienen dados por la regla de la mano derecha. Como se indica en la figura, el vector torque es perpendicular al plano de la pantalla y hacia afuera. El módulo del torque es:
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Fuerza F2: En la siguiente figura está representada la fuerza junto con su vector r:
La dirección y sentido del torque vienen dados por la regla de la mano derecha. Como se indica en la figura, el vector torque es perpendicular al plano de la pantalla y hacia afuera. El módulo del torque es:
Fuerza F3: En la siguiente figura está representada la fuerza junto con su vector r:
La dirección y sentido del torque vienen dados por la regla de la mano derecha. Como se indica en la figura, el vector torque es perpendicular al plano de la pantalla y hacia adentro. El módulo del torque es:
Finalmente representamos los tres vectores sobre un sistema de ejes cartesianos.
En la figura está representado también el vector aceleración angular. De la segunda ley de Newton para la rotación se deduce que dicho vector ha de ser siempre paralelo a la resultante de los torques, puesto que el momento de inercia es un escalar positivo. En la figura lo hemos representado con sentido negativo porque, como verás a continuación, el signo de la aceleración angular es negativo.
Ahora podemos proyectar la segunda ley de Newton para la rotación sobre el eje z:
Y sustituyendo los datos del problema:
No olvides poner las unidades en los resultados de los problemas.
La página Dinámica de rotación – Aceleración angular de una varilla ha sido originalmente publicada en YouPhysics
