Dinámica de rotación – Aceleración angular de una polea

Enunciado:

Se tiene una polea homogénea constituida por dos ruedas capaces de girar solidariamente alrededor del mismo eje. El momento de inercia de las dos ruedas juntas es ICM = 40 kg m2. Los radios son: R1 = 1.2 m y R2 = 0.4 m. Las masas que cuelgan a ambos lados de la polea son m1 = 36 kg y m2 = 12 kg (ver figura). Supondremos que la masa de las cuerdas es despreciable.

Determinar la aceleración angular de la polea y las tensiones de las cuerdas.

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Solución:

El sistema representado en la figura está constituido por tres cuerpos: la polea y las dos masas. Para describir el movimiento de cada uno de ellos hay que utilizar la ecuación adecuada según el tipo de movimiento que describan.

Las masas describen un movimiento de traslación, por lo que su aceleración lineal viene dada por la segunda ley de Newton:

La polea describe un movimiento de rotación, por lo que su aceleración angular vendrá dada por la segunda ley de Newton para la rotación:

En primer lugar dibujamos las fuerzas que actúan sobre el sistema:

Observa que la tensión en cada cuerda es diferente. Sobre la polea actúan también su peso y la normal que hace sobre ella el eje que la mantiene en posición. Pero estas dos fuerzas son iguales en módulo y de sentidos contrarios, por lo que se anulan y no afectan al movimiento de la polea.

En la figura se ha representado también el sentido positivo del eje y que utilizaremos para calcular las proyecciones. Para cada masa se ha tomado como sentido positivo el mismo que el de su vector aceleración. De esta manera la proyección de la aceleración es siempre positiva.

Observa que las masas tienen aceleraciones diferentes. Esto es debido a que cada cuerda pasa a distinta distancia del centro de la polea. Volveremos después sobre este hecho.

A continuación vamos a escribir la ecuación del movimiento de cada uno de los cuerpos.

Masa m1: La segunda ley de Newton aplicada a m1 es:

Y proyectando sobre el eje y:


Masa m2: La segunda ley de Newton aplicada a m2 es:

Y proyectando sobre el eje y:


Polea: La segunda ley de Newton para la rotación (ecuación de momentos) aplicada a la polea es:

El torque (o momento) de una fuerza viene dado por:

Donde r es un vector que va desde el punto que elijamos como origen de momentos hasta el punto de aplicación de la fuerza.

La dirección y sentido del producto vectorial se determinan utilizando la regla de la mano derecha, y el módulo es:

Donde θ es en ángulo que forman ambos vectores.

A continuación vamos a determinar los torques de las tensiones para poder desarrollar la ecuación de los momentos.

En la siguiente figura están representadas la polea, las tensiones que actúan sobre ella:

El torque de T1 viene dado por:

Su dirección y sentido, como se observa a la izquierda de la figura, vienen dados por la regla de la mano derecha. El vector torque es perpendicular al plano de la pantalla y hacia afuera.

Su módulo viene dado por:

El torque de T2 viene dado por:

Su dirección y sentido, como se observa a la derecha de la figura, vienen dados por la regla de la mano derecha. El vector torque es perpendicular al plano de la pantalla y hacia adentro.

Y su módulo es:

En la siguiente figura están representados los dos vectores sobre los ejes cartesianos.

El vector aceleración angular α de la polea está dirigido en el sentido positivo del eje z porque la polea gira en sentido antihorario.

A continuación proyectamos la segunda ley de Newton para la rotación sobre el eje z:

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Las ecuaciones (1), (2) y (3) van a permitirnos resolver el problema.

Además, podemos relacionar la aceleración lineal de cada masa con la aceleración angular de la polea:

Ya que las cuerdas no deslizan sobre la polea y por tanto un punto de las mismas describe un movimiento circular de aceleración α.

Sustituyendo las expresiones anteriores en las ecuaciones (1) y (2) tenemos finalmente el sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema de ecuaciones y sustituyendo los datos del problema:

En el problema se ha tomado g = 10 m/s2.

 

La página Dinámica de rotación – Aceleración angular de una polea ha sido originalmente publicada en YouPhysics