Dynamique de rotation - Accélération angulaire d'une poulie

Énoncé:

Une poulie homogène à deux gorges est constituée de deux roues qui tournent solidairement autour du même axe. Le moment d’inertie de l’ensemble des deux roues est ICM = 40 kg m2. Les rayons des roues sont R1 = 1.2 m et R2 = 0.4 m. Les masses qui sont suspendues par des cordes des deux côtés de la poulie sont m1 = 36 kg et m2 = 12 kg (voir la figure). On considère que les cordes ont des masses négligeables.

Déterminez l’accélération angulaire de la poulie et les tensions des cordes.

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Solution:

Le système représenté dans la figure est composé de trois corps: la poulie et les deux masses. Pour décrire leurs mouvements il faut utiliser l’équation adaptée au type de mouvement qu’ils décrivent.

Les deux masses décrivent des mouvements de translation, leur accélération linéaire est par conséquent décrite par la deuxième loi de Newton:

La poulie décrit un mouvement de rotation, son accélération angulaire est par conséquent décrite par la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation:

Nous dessinons tout d’abord les forces qui agissent sur le système:

Observez que les tensions sont différentes pour les deux cordes de la poulie. Le poids et la normale à l’axe qui maintient la poulie en place sont deux autres forces qui agissent sur elle. Ces deux forces s’annulent (elles ont la même norme et sont de sens contraire) et elles n’affectent donc pas le mouvement de la poulie.

Dans la figure ci-dessus, nous avons aussi représenté le sens positif des axes y que nous utiliserons pour calculer les projections des forces pour chacune des masses. Nous avons choisi d’orienter l’axe y dans le même sens que le vecteur accélération pour chacune des masses. La projection de l’accélération sera positive de cette façon.

Observez que les deux masses ont des accélérations différentes. Les deux cordes s’enroulent en effet à des distances différentes du centre de la poulie. Nous y reviendrons plus tard.

Nous allons maintenant écrire l’équation de mouvement de chacun des corps.

Masse m1: La deuxième loi de Newton appliquée à m1 est:

La projection sur l’axe y donne:


Masse m2: La deuxième loi de Newton appliquée à m2 est:

La projection sur l’axe y donne:


Poulie: La deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation (équation des moments) pour la poulie est:

Le moment d’une force est donné par:

r est un vecteur qui va du point que nous choisissons pour l’origine des moments jusqu’au point d’application de la force.

La direction et le sens du produit vectoriel sont déterminés en utilisant la règle de la main droite, sa norme est:

Où θ est l’angle que forment les deux vecteurs.

Nous allons maintenant déterminer les moments des tensions afin de pouvoir développer l’équation des moments.

Nous avons représenté la poulie et les tensions qui agissent sur elle dans la figure ci-dessous:

Le moment de T1 est donné par:

Sa direction et son sens, comme vous pouvez l’observer dans la partie gauche de la figure, sont donnés par la règle de la main droite. Le vecteur moment est perpendiculaire au plan de l’écran et pointe vers l’extérieur.

Sa norme est:

Le moment de T2 est donné par:

Sa direction et son sens, comme vous pouvez l’observer dans la partie droite de la figure, sont donnés par la règle de la main droite. Le vecteur moment est perpendiculaire au plan de l’écran et pointe vers l’intérieur.

Et sa norme est:

Les projections des deux vecteurs sur les axes cartésiens sont représentées dans la figure ci-dessous.

La vecteur accélération angulaire α de la poulie est orienté dans le sens positif de l’axe z car la poulie tourne dans le sens contraire aux aiguilles d’une montre.

Nous faisons maintenant la projection sur l’axe z de la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation:

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Les équations (1), (2) et (3) vont nous permettre de résoudre le problème.

Nous pouvons en plus faire le lien entre l’accélération linéaire de chaque masse et l’accélération angulaire de la poulie.

Car les cordes ne glissent pas sur la poulie et elles décrivent par conséquent un mouvement circulaire d’accélération α.

En faisant la substitution des expressions précédentes dans les équations (1) et (2) nous obtenons finalement le système d’équations suivant:

La résolution du système d’équation et la substitution avec les données de l’énoncé nous permet de trouver:

Nous avons pris g = 10 m/s2 dans ce problème.

 

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