Dynamique de rotation - Forces de réaction et accélération angulaire

Énoncé:

Une barre homogène de masse M = 15 kg et de longueur L = 6 m est fixée à un mur par l’intermédiaire d’une articulation au point A, elle est appuyée sur une caisse au point B à une distance horizontale L’= 5 m du mur. La barre est inclinée d’un angle θ = 300 (voir la figure).

  1. Calculez la valeur de la force normale qu’exerce la caisse sur la barre pour qu’elle se trouve en équilibre statique.
  2. Calculez les composantes de la réaction de l’articulation au point A.
  3. Si on retire la caisse, déterminez l’accélération angulaire de la barre en fonction de l’angle θ.

Données: Le moment d’inertie d’une barre par rapport à un axe qui passe par son centre de masse est ICM = (1/12)ML2.

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Solution:

Nous allons dans un premier temps résoudre les points (a) et (b) du problème en imposant à la barre les deux conditions d’un équilibre statique:

Ce lien décrit comment résoudre les problèmes de statique.

La première condition implique que la barre n’a pas de mouvement de translation (a = 0) et la deuxième condition qu’elle n’a pas de mouvement de rotation (α = 0).

Pour appliquer ces conditions nous allons dessiner les forces externes qui agissent sur la barre:

Comme la barre est homogène, son centre de masse se trouve à la moitié de sa longueur et son poids (la force gravitationnelle qu’exerce la Terre sur elle) est appliqué en ce point.

La barre est fixée au point A par l’intermédiaire d’une articulation. La réaction pour ce type d’appui a deux composantes (Rx et Ry) qui se calculent de manière indépendantes.

L’appui est simple au point B et la réaction (ou force normale) est perpendiculaire à la barre.

Nous avons aussi représenté les trois vecteurs unitaires qui définissent le sens positif des axes cartésiens et que nous utiliserons pour faire la projection des différents vecteurs dans cette figure.

La première condition d’équilibre statique appliquée à la barre est:

En faisant la projection sur les axes on obtient:


La deuxième condition d’équilibre statique doit être respectée indépendamment du point choisi pour calculer le moment des forces. Dans ce problème nous utiliserons le point A. La condition pour que la barre ne tourne pas par rapport à ce point est:

Le moment d’une force est donné par:

r est un vecteur qui va depuis l’origine des moments (ici le point A) jusqu’au point d’application de la force. Ce vecteur est nul pour les composantes de la réaction de l’articulation. Nous allons maintenant calculer le moment du point et de la normale N.


Poids P: Le moment du poids est le suivant:

Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure ci-dessous:

La direction et le sens du produit vectoriel sont définis par la règle de la main droite. Vous pouvez constater dans cette figure que le vecteur moment est dirigé dans le sens négatif de l’axe z (-k). La norme du produit vectoriel est:


Normale N: Le moment de la normale est le suivant:

Nous avons représenté les deux vecteurs dans la figure ci-dessous:

La direction et le sens du produit vectoriel sont définis par la règle de la main droite. Vous pouvez constater dans cette figure que le vecteur moment est dirigé dans le sens positif de l’axe z (k). La norme du produit vectoriel est:


Nous avons représenté ici les deux moments sur les axes cartésiens:

À partir de cette information nous pouvons faire la projection de la deuxième condition de l’équilibre statique sur l’axe z.

Nous obtenons N en simplifiant et en substituant avec les données du problème dans l’équation (3):

À partir de l’équation (1) nous obtenons Rx:

Et à partir de l’équation (2) nous obtenons Ry:


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Dans le point (c) du problème, la barre n’est plus en équilibre statique; nous devons donc utiliser la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation pour déterminer son accélération angulaire α:

Comme l’axe de rotation de la barre passe par le point A, nous calculons son moment d’inertie et le moment des forces externes à partir de ce point.

Nous avons représenté les forces externes qui agissent sur la barre dans la figure ci-dessous. Observez que, comme la barre n’est plus appuyée sur la caisse, la normale N n’agit plus sur elle.

L’équation de la dynamique de rotation appliquée à la barre est alors:

Comme nous l’avons vu précédemment, le moment des composantes de la réaction de l’articulation est nul par rapport au point A. L’équation devient par conséquent:

Le moment d’inertie est une quantité positive, le vecteur accélération angulaire de la barre est par conséquent parallèle au moment du poids. Nous avons vu précédemment que ce moment est dirigé dans le sens –k et qu’il a pour norme:

La projection sur l’axe z de l’équation de la dynamique de la rotation est alors:

Nous calculons le moment d’inertie de la barre par rapport à un axe qui passe par A en utilisant le théorème de Steiner:

En faisant la substitution dans l’équation précédente nous obtenons:

Et en faisant la substitution avec les données du problème nous obtenons finalement:

Nous avons pris g = 10 m/s2 pour la résolution de ce problème.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes..

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