Une barre homogène de longueur L = 2 m est fixée au mur en son centre, de sorte qu’elle puisse tourner librement par rapport à ce point. La barre a une masse M = 1 kg et subit les trois forces suivantes: F1 = 4 N, F2 = 4 N, F3 = 12 N (voir la figure). La distance d = 0.75 m.
Déterminer l’accélération angulaire α de la barre en fonction de l’angle θ si l’on suppose que les forces sont toujours verticales.
Données: Le moment d’inertie de la barre par rapport à un axe qui passe par son centre de masses ICM = (1/12)ML2
Solution:
Pour déterminer l’accélération angulaire de la barre nous devons utiliser la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation:
Où Στext est la somme des moments de forces externes, ICM est le moment d’inertie de la barre par rapport à un axe qui passe par le centre de masse et α est l’accélération angulaire de la barre.
Nous calculons le moment des forces par rapport au centre de masse de la barre, car l’axe de rotation passe par ce point.
Le moment d’une force est défini par:
Où r est un vecteur qui va de l’origine des moments jusqu’au point d’application de la force.
La norme du moment, comme pour n’importe quel autre produit vectoriel est:
Où θ est l’angle formé par les deux vecteurs.
La direction et le sens du produit vectoriel se déterminent avec l’aide de la règle de la main droite, comme nous le verrons plus tard.
Les forces externes qui agissent sur la barre sont représentées dans la figure de l’énoncé. Le poids et la réaction du point d’appui sont deux autres forces qui agissent sur la barre. Comme ces deux forces sont appliquées au centre de masse, leurs vecteurs r sont nuls et par conséquent leurs moments aussi. Ils n’ont donc pas de conséquence pour le mouvement de rotation de la barre.
La deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation pour la barre est donc:
Nous allons maintenant calculer le moment de chacune des forces.
Force F1: Nous avons représenté la force avec son vecteur r dans la figure ci-dessous:
La direction et le sens du moment sont donnés par la règle de la main droite. Le vecteur moment est perpendiculaire au plan de l’écran et est orienté vers l’extérieur (voir la figure). La norme du moment est:
Force F2: Nous avons représenté la force avec son vecteur r dans la figure ci-dessous:
La direction et le sens du moment sont donnés par la règle de la main droite. Le vecteur moment est perpendiculaire au plan de l’écran et est orienté vers l’extérieur (voir la figure). La norme du moment est:
Force F3: Nous avons représenté la force avec son vecteur r dans la figure ci-dessous:
La direction et le sens du moment sont donnés par la règle de la main droite. Le vecteur moment est perpendiculaire au plan de l’écran et est orienté vers l’intérieur (voir la figure). La norme du moment est:
Nous représentons finalement les trois vecteurs dans un référentiel cartésien.
Nous avons aussi représenté le vecteur accélération angulaire dans la figure. À partir de la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation nous pouvons déduire que ce vecteur doit être toujours parallèle à la somme vectorielle des moments, car le moment d’inertie est un scalaire positif. Nous l’avons représenté avec un signe négatif dans la figure car, comme vous le verrez par la suite, le signe de l’accélération angulaire est négatif dans ce problème.
Nous pouvons maintenant faire la projection sur l’axe z de la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation:
Et en substituant avec les données du problème nous obtenons:
N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.
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