Principe d’Archimède - La couronne en or

Énoncé:

Selon la légende, Hiéron II, le roi de Syracuse, demanda à Archimède de déterminer si une couronne fabriquée par un orfèvre était réellement constituée d’or pur ou si l’or avait été mélangé avec un métal moins cher. Afin de ne pas endommager la couronne, Archimède aurait tout d’abord déterminé la masse de la couronne (m0 = 0.44 kg) puis sa masse apparente alors qu’elle était immergée dans l’eau (m’ = 0.409 kg). En utilisant ces deux mesures, il détermina la densité de la couronne et se rendit compte que la couronne n’était pas d’or pur. Comment arriva t’il à cette conclusion?

Données: ρAu = 1.93 104 kg/m3; ρH2O = 103 kg/m3

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Solution:

La façon la plus simple pour déterminer si la couronne est en or pur consiste à utiliser une balance avec deux plateaux. On met la couronne sur l’un des plateaux et une masse d’or pur équivalente sur l’autre plateau afin d’équilibrer la balance. Puis on immerge l’ensemble dans de l’eau. Si la balance reste en équilibre (à gauche), la couronne est d’or pur (elle a la même densité que la masse d’or pur, par conséquent les deux objets déplacent le même volume d’eau et la portance est la même pour les deux côtés de la balance). Si par contre la balance immergée s’incline du côté de la masse d’or (à droite), la couronne a une densité inférieure à celle de l’or pur, son volume sera plus grand et par conséquent la portance sera elle aussi plus grande.

Nous pouvons déterminer la densité de la couronne ρC en utilisant la même balance et en appliquant le principe d’Archimède.

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Comme cela est représenté dans la figure suivante, on détermine la masse m0 de la couronne avec l’aide de la balance (à gauche) et sa masse apparente lorsqu’elle est immergée dans l’eau (à droite).

La norme du poids apparent P’ de la couronne sera égale à la norme de son poids P0 moins la portance de l’eau F. Cette dernière est égale au poids de l’eau déplacé par la couronne:

Le volume de la couronne est égale à sa masse m0 divisée par sa densité ρC. En le substituant dans l’équation précédente, en isolant et en substituant avec les données de l’énoncé on obtient:

Qui est inférieur à la densité de l’or, par conséquent la couronne n’est pas d’or pur.

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