Une pépite d’or de masse m (et de densité ρAu) est accrochée à une boîte de conserve de rayon r et de masse négligeable. Lorsqu’elle flotte dans la mer (de densité ρ), la partie immergée de la boîte de conserve a une hauteur h (voir la figure). Déterminez la relation entre la hauteur h’ de la nouvelle partie immergée et h si on place la pépite d’or dans la boîte de conserve (voir figure).
Données: ρ = 1.03 103 kg/m3; ρAu = 1.93 104 kg/m3
Solution:
Nous allons appliquer le principe d’Archimède pour résoudre ce problème. La différence entre les situations (1) et (2) représentées dans la figure est le volume d’eau déplacé. Alors que dans la situation (1), le volume d’eau est déplacé par la boite de conserve et la pépite d’or, dans la situation (2) seule la boîte de conserve déplace un volume d’eau. La partie immergée de la boîte de conserve est plus importante dans la situation (2) car même si le poids est le même dans les deux situations, la pépite d’or ne déplace pas un volume d’eau dans la situation (2) et par conséquent le volume immergé de la boîte de conserve doit être plus important pour compenser.
Pour que la boîte de conserve flotte dans les deux situations, la norme du poids doit être égale à la norme de la portance. Nous avons écrit ci-dessous les équations que nous utiliserons pour décrire les deux situations.
(1) Nous calculons la norme du poids et celle la portance et nous les égalons:
Comme nous ne connaissons pas le volume de la pépite d’or, nous pouvons l’écrire en fonction de sa densité:
D’autre part, le volume immergé de la boîte de conserve est donné par:
Et en substituant ces deux expressions et en isolant m nous obtenons:
(2) Nous calculons à nouveau la portance, nous l’égalons avec le poids et nous isolons de nouveau la masse pour obtenir:
En égalant les expressions (1) y (2) et en substituant avec les données du problème nous obtenons:
Comme prévu, la boîte de conserve est plus immergée dans la situation (2). Avec l’expression précédente nous pouvons calculer la proportion immergée de la boîte de conserve en fonction de la densité de l’objet qui est accroché à son fond.
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