Principio de Arquímedes – Empuje sobre un cuerpo parcialmente sumergido

Enunciado:

Una lata de radio r y masa despreciable tiene un trozo de oro (de densidad ρAu) de masa m colgado de su fondo. Cuando flota en el mar (de densidad ρ), la parte de la lata que queda por debajo del nivel del agua tiene una altura h (ver figura). Si la masa de oro se coloca dentro de la lata, determinar la relación entre la parte h’ que se encontrará ahora por debajo del nivel del mar y h.

Datos: ρ = 1.03 103 kg/m3; ρAu = 1.93 104 kg/m3

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Solución:

Para resolver este problema utilizaremos el principio de Arquímedes. La diferencia entre las situaciones (1) y (2) representadas en la figura es el volumen de fluido desalojado. Mientras que en (1) el empuje es debido al peso del fluido desalojado por la lata y por la masa de oro, en (2) el empuje es debido únicamente al volumen de fluido desalojado por la lata. La lata debe hundirse más en (2) porque, como el peso es el mismo que en el caso (1) y el oro no desaloja fluido, el volumen sumergido de la lata debe ser mayor para compensar.

En ambas situaciones el módulo del peso debe ser igual al módulo del empuje para que la lata flote. A continuación planteamos las ecuaciones para cada situación.


(1) Calculamos el módulo del peso y del empuje e igualamos:

Como no conocemos el volumen de la masa de oro, podemos escribirlo en función de su densidad:

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Por otra parte, el volumen de la lata sumergido en el agua viene dado por:

Sustituyendo ambas expresiones y despejando m obtenemos:


(2) Volvemos a calcular el empuje e igualamos al peso y despejamos de nuevo la masa:

Igualando las expresiones (1) y (2) y sustituyendo los datos del problema:

Como era de esperar, la lata se hunde más en el caso (2). Con la expresión anterior puedes calcular la proporción de la lata que se hundirá dependiendo de la densidad del objeto que tiene colgado en su fondo.

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