Principio de Arquímedes – Problema de la corona de oro

Enunciado:

Cuenta la leyenda que Hierón II, rey de Siracusa, pidió a Arquímedes determinar sin alterarla si una corona que le había fabricado un orfebre era realmente de oro puro o si éste estaba mezclado con metales de menor valor. Con ayuda de una balanza, Arquímedes midió la masa de la corona (m0 = 0.44 kg) y después la masa que tenía sumergida en agua (m’ = 0.409 kg). Con estos datos determinó la densidad de la corona y vio que no estaba hecha de oro puro. ¿Cómo lo hizo?
Datos: ρAu = 1.93 104 kg/m3; ρH2O = 103 kg/m3

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Solución:

La manera más sencilla de determinar si la corona es de oro consiste en colocar sobre los platillos de una balanza la corona y la misma masa de oro, sumergiendo el conjunto en agua como se muestra en la figura. Si la balanza se queda en posición horizontal (izquierda), la corona estará hecha de oro (tiene la misma densidad y por tanto ambos objetos desplazan el mismo volumen de agua y el empuje en ambos lados de la balanza es el mismo). En cambio, si la balanza se inclina hacia la masa de oro (derecha), la corona tendrá una densidad menor que este, su volumen será mayor y por tanto el empuje será también mayor.

Utilizando la misma balanza podemos determinar la densidad de la corona ρC aplicando el principio de Arquímedes.

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Como se muestra en la figura inferior, con ayuda de la balanza se determina la masa m0 de la corona (izquierda) y su masa aparente m’ cuando está sumergida en el agua (derecha).

El módulo del peso aparente P’ de la corona será igual al módulo de su peso P0 menos el empuje del agua F. Y este último es igual al peso del agua desalojada por la corona:

Pero el volumen de la corona es igual a su masa m0 dividida por su densidad ρC. Sustituyendo en la ecuación anterior, despejando y sustituyendo los datos del problema:

Que es menor que la densidad del oro, por lo que la corona no está hecha de oro.

La página Principio de Arquímedes – Problema de la corona de oro ha sido originalmente publicada en YouPhysics