La relation de Mayer (ou loi de Mayer) est la relation qui existe entre les capacités thermiques molaires à pression constante Cp et à volume constant CV d’un gaz parfait.
La figure suivante représente deux transformations réversibles d’un gaz parfait. La transformation AB est isochore (à volume constant) et la transformation AC est isobare (à pression constante). La température du gaz dans l’état A est T1. Les états B et C se trouvent sur la même isotherme qui correspond à la température T2, les deux transformations ont donc la même température finale.
La température augmente pour les deux transformations (T1 < T2), par conséquent, le gaz absorbera une certaine quantité de chaleur durant les deux transformations.
La chaleur échangée dans une transformation isochore est donnée par:
Où CV est la capacité thermique molaire à volume constant.
La chaleur échangée dans une transformation isobare est donnée par:
Où Cp est la capacité thermique molaire a pression constante.
Il est possible de démontrer que ces capacités thermiques sont:
| Gaz parfait | CV | Cp | Cp – CV | γ = Cp/CV |
| Monoatomique | (3/2) R | (5/2) R | R | 5/3 |
| Diatomique | (5/2) R | (7/2) R | R | 7/5 |
Où R est la constante universelle des gaz parfaits qui avec les unités du Système International vaut: R = 8.31 J/mol K.
Vous pouvez constater que la différence entre les deux capacités thermiques est R (l’avant-dernière colonne de la table précédente). Cette relation est connue comme la relation (ou loi) de Mayer. Pour la démontrer, nous allons appliquer la forme différentielle du premier principe de la Thermodynamique aux deux transformations représentées dans le diagramme PV.
Le travail dans la transformation isochore AB est nul car il n’y a pas de variation du volume.
D’autre part, comme le gaz est parfait, son énergie interne dépend uniquement de la température. La variation est la même pour les deux transformations car elles ont les mêmes températures initiales et finales. En faisant l’égalité et un substituant la chaleur et le travail on obtient:
En utilisant l’équation d’état d’un gaz parfait pour déduire la valeur de pdV, on obtient:
Et en substituant dans l’expression précédente, on obtient:
Ce qui termine la démonstration de la relation de Mayer.
Le quotient Cp/CV qui apparait dans la dernière colonne de la table s’appelle le coefficient adiabatique (ou indice adiabatique) γ. Il apparait dans l’équation qui décrit une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait.
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