Le jet d’eau vertical d’une fontaine atteint une hauteur maximale H = 25 m. L’embouchure de la fontaine a un diamètre d = 5 cm et elle se trouve au niveau du sol. La pompe qui propulse l’eau est enterrée à une profondeur h = 3 m par rapport au niveau du sol (voir la figure). Si la canalisation qui alimente l’embouchure a un diamètre D = 8 cm, calculez la pression de l’eau à la sortie de la pompe.
Données: ρ = 103 kg/m3; p0 = 105 Pa; g = 10 m/s2
Solution:
Pour résoudre ce problème nous allons supposer que l’eau circule en flux constant. Nous utiliserons l’équation de continuité et l’équation de Bernoulli.
L’objectif de ce problème est de calculer la pression à la sortie de la pompe (l’état 2 dans la figure suivante) en utilisant l’équation de Bernoulli. Afin de pouvoir l’appliquer nous avons besoin de calculer la vitesse du fluide v2 à sa sortie.
En connaissant les diamètres des deux canalisations nous pouvons appliquer l’équation de continuité entre les états 1 et 2:
En isolant v2 on obtient:
Les diamètres qui apparaissent dans l’équation précédente sont donnés par l’énoncé du problème. Nous pouvons calculer la vitesse de l’eau dans l’état 1, v1, car nous savons que sa vitesse est nulle lorsqu’elle atteint sa hauteur maximale. Le mouvement qu’elle décrit est uniformément accéléré par la gravité g, nous avons donc:
Nous allons maintenant appliquer l’équation de Bernoulli entre les états 1 et 2. Pour le faire nous fixons l’origine des hauteurs (h = 0) en (2). Comme la canalisation est ouverte à son extrémité (1), la pression de l’eau est la pression atmosphérique p0 en ce point.
L’équation de Bernoulli s’écrit alors:
En isolant p2 et en substituant v2 dans l’équation on obtient:
Finalement, en substituant v1 en fonction de H et en utilisant les données numériques du problème on obtient:
N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.
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