L’équation de Bernoulli est le principe de conservation de l’énergie appliqué au mouvement d’un fluide en régime stationnaire, sans viscosité et dont la densité est constante. Ces conditions peuvent paraître très restrictives, mais l’équation de Bernoulli a beaucoup d’applications en science et en ingénierie.
Considérons un fluide incompressible qui s’écoule sans frottement interne et en régime stationnaire dans le conduit représenté dans la figure suivante:
Si un élément de masse Δm traverse une section à gauche du conduit (où les variables sont représentées en bleu dans la figure) en un temps Δt, comme l’équation de continuité doit être respectée, la même quantité de masse Δm de fluide doit traverser une autre section à droite du conduit (où les variables sont représentées en rouge).
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Le travail des forces qui agissent sur une particule lorsqu’elle se déplace d’un état initial 1 à un état final 2 est lié à la variation de son énergie cinétique par l’équation suivante:
Les forces suivantes agissent sur l’élément de masse Δm:
-
- La force gravitationnelle (poids)
- La force dû à la différence de pression entre les deux extrémités du conduit.
Par conséquent, les travaux des forces qui agissent sur Δm sont le travail du poids Wg et le travail dû à la différence de pression Wp. L’équation ci-dessus s’écrit alors:
Comme le poids est une force conservative, nous pouvons écrire:
Quant au travail dû à la différence de pression:
Où le signe moins est dû au fait que Δm à gauche s’écoule contre la force qu’exerce le reste du fluide à sa droite.
En substituant les deux travaux ainsi que l’expression de l’énergie cinétique dans la première équation on obtient:
Et en divisant les deux membres par ΔV et en réarrangeant les termes (nous avons supposé le fluide incompressible donc ρ1 = ρ2 = ρ) nous obtenons:
Qui est l’équation de Bernoulli. Il est important de souligner que l’équation de Bernoulli est exprimée en Pascal, et non en Joules.
