Ecuación de Bernoulli – Diseño de una fuente

Enunciado:

Una fuente lanza el agua verticalmente hasta una altura H = 25 m. La boca de salida de la fuente tiene un diámetro d = 5 cm, y está a nivel del suelo. La bomba que propulsa el agua está enterrada a una profundidad h = 3 m con respecto al suelo (ver figura). Si la tubería que conduce el agua hasta la boca tiene un diámetro D = 8 cm, calcular la presión del agua a la salida de la bomba.

Datos: ρ = 103 kg/m3; p0 = 105 Pa; g = 10 m/s2

Ecuación de Bernoulli - Fuente

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Solución:

Para resolver este problema vamos a suponer que el agua circula en régimen estacionario. Utilizaremos la ecuación de continuidad y la ecuación de Bernoulli.

El objetivo del problema es calcular la presión a la salida de la bomba (estado 2 en la figura inferior) utilizando la ecuación de Bernoulli. Pero para aplicarla necesitamos calcular la velocidad del fluido v2 a la salida de la misma.

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Conociendo los diámetros de las dos tuberías podemos aplicar la ecuación de continuidad entre los estados 1 y 2:

Y despejando v2:

Los diámetros que aparecen en la ecuación anterior son datos del problema. Podemos calcular la velocidad del agua en el estado 1, v1, sabiendo que cuando llega a su altura máxima H su velocidad será nula. El movimiento que describe es uniformemente decelerado con aceleración g, por lo que:

A continuación vamos a aplicar la ecuación de Bernoulli entre los estados 1 y 2. Para ello tomaremos el origen de alturas (h = 0) en (2). Como la tubería está abierta en su extremo 1, en ese punto la presión del agua es la atmosférica p0.

La ecuación de Bernoulli queda entonces:

Despejando p2 y sustituyendo:

Finalmente, sustituyendo v1 en función de H así como los datos numéricos del problema obtenemos:

No olvides poner las unidades en los resultados de los problemas.

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