Une poutre homogène de masse M et de longueur L est fixé au mur par l’intermédiaire d’une articulation et d’une corde tel que cela est indiqué sur la figure. L’angle que forme la poutre avec la verticale est θ. Déterminez en fonction des données du problème quelle serait la vitesse de la poutre à l’horizontale si la corde se rompt.
Donnée: Le moment d’inertie de la poutre par rapport à un axe qui passe par son centre de masse , ICM = (1/12)ML2.
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Solution:
Pour déterminer la vitesse angulaire de la poutre lorsqu’elle arrive à l’horizontale nous utiliserons le principe de la conservation de l’énergie. Dans la figure suivante nous avons représenté les deux états que nous utiliserons ainsi que l’origine des hauteurs pour calculer l’énergie potentielle.
La poutre est au repos dans l’état A, son énergie est donc uniquement l’énergie potentielle gravitationnelle. L’énergie potentielle d’un solide se calcule en prenant comme référence la hauteur à laquelle se trouve son centre de masse (ou centre d’inertie).
L’énergie dans l’état A est par conséquent:
Nous devons écrire la hauteur h en fonction des données du problème. Nous avons représenté cette hauteur ainsi que l’angle que nous utiliserons pour la calculer dans la figure ci-dessous:
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Le centre de masse de la poutre se trouve à l’origine des hauteurs dans l’état B, son énergie potentielle gravitationnelle est donc nulle. La poutre est en train de tourner et par conséquent elle aura une énergie cinétique de rotation:
Le moment d’inertie de la poutre par rapport à un axe qui passe par le point O se détermine en utilisant le théorème de Steiner:
L’énergie totale de la poutre se conserve car il n’y a pas de force non conservative (frottement) qui agisse sur elle. Par conséquent:
Nous pouvons déduire la vitesse angulaire de la poutre à partir de la dernière expression:
