Énergie cinétique de rotation - Système de deux poulies

Énoncé:

Un objet de masse M = 1000 kg est soulevé avec un système de deux poulies de rayons R1 = 0.25 m et R2 = 1 m de masses m1 = 20 kg et m2 = 60 kg respectivement (voir la figure). Le frein est libéré lorsque l’objet se trouve à une hauteur de 2 m par rapport à sol, ce qui le fait tomber depuis une position au repos. Calculez la vitesse de l’objet lorsqu’il arrive au sol.

Donnée: Le moment d’inertie d’un disque par rapport à un axe qui passe par son centre d’inertie (ou centre de masse) est ICM = (1/2)MR2.

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Solution:

Nous allons résoudre ce problème en utilisant le principe de la conservation de l’énergie. Pour faire cela, nous choisissons les états initial (A) et final (B) du système constitué par les deux poulies et la masse M. Ces deux états ainsi que l’origine des hauteurs que nous utiliserons pour calculer l’énergie potentielle gravitationnelle sont représentés dans la figure suivante.

Les trois objets du système sont au repos dans l’état A. L’énergie totale (ou mécanique) du système à cet instant est par conséquent égale à l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet de masse M:

Lorsque la masse M atteint le sol dans l’état B, elle n’a plus d’énergie potentielle gravitationnelle mais a une certaine vitesse. D’autre part les deux poulies sont en train de tourner å ce moment, nous avons donc:

Comme aucune force non conservative (frottement) agit sur le système, son énergie mécanique se conserve:

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Nous supposons d’autre part que la corde ne glisse pas sur les poulies, la vitesse linéaire d’un point quelconque de la périphérie des poulies doit par conséquent être égale à la vitesse de la masse M. Nous pouvons donc faire le lien entre la vitesse angulaire de chaque poulie et la vitesse linéaire de la masse M à partir de l’équation suivante:

En faisant la substitution dans l’équation de la conservation de l’énergie nous obtenons:

Nous faisons maintenant la substitution du moment d’inertie des poulies pour obtenir:

En nous pouvons finalement déduire la vitesse v en substituant avec les données du problème:

Nous avons pris g = 10 m/s2 pour résoudre ce problème.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

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