Energía cinética de rotación – Sistema de poleas

Enunciado:

Mediante el sistema de poleas de la figura, de radios R1 = 0.25 m y R2 = 1 m y masas m1 = 20 kg y m2 = 60 kg se está levantando un objeto de masa M = 1000 kg. En un cierto instante, cuando el objeto está a una altura de 2 m sobre el suelo, se libera el freno y cae desde el reposo. Calcular la velocidad del objeto cuando llega al suelo.

Dato: Momento de inercia de un disco con respecto a un eje que pasa por su centro de masas, ICM = (1/2)MR2

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Solución:

Vamos a resolver este problema utilizando el principio de conservación de la energía. Para ello, elegimos los estados inicial (A) y final (B) del sistema constituido por las dos poleas y por la masa M. En la siguiente figura se han representado ambos estados, así como el origen de alturas que utilizaremos para calcular la energía potencial gravitatoria:

En el estado A los tres objetos que constituyen el sistema se encuentran en reposo. Por tanto, la energía total (o mecánica) del sistema en ese instante es igual a la energía potencial gravitatoria del objeto de masa M:

En el estado B la masa M habrá llegado al suelo, no tendrá energía potencial gravitatoria y tendrá una cierta velocidad; por otra parte las dos poleas estarán rotando. La energía total en el estado B será por tanto la suma de la energía cinética de traslación de la masa y de la energía cinética de rotación de las poleas:

Como no hay ninguna fuerza no conservativa (rozamiento) que actúe sobre el sistema, su energía mecánica se conserva:

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Por otra parte, si suponemos que la cuerda no desliza sobre las poleas, la velocidad lineal de un punto de la periferia de las mismas ha de ser igual a la velocidad de la masa M. Por tanto la velocidad angular de cada polea puede relacionarse con la lineal de la masa M mediante la siguiente ecuación:

Y sustituyendo en la ecuación de conservación de la energía:

A continuación sustituimos el momento de inercia de las poleas:

Finalmente despejamos v y sustituimos los datos del problema:

Es este problema se ha tomado g = 10 m/s2.

No olvides poner las unidades en  los resultados de los problemas.

La página Energía cinética de rotación – Sistema de poleas ha sido originalmente publicada en YouPhysics