Energía cinética de rotación – Dos poleas de distintos radios

Enunciado:

Un disco de masa M1 = 6 kg y radio R1 = 0.8 m puede rotar alrededor de un eje horizontal, como se indica en la figura. Una cuerda sin masa está enrollada alrededor de la periferia del disco, pasa por otro disco de masa M2 = 2 kg y radio R2 = 0.5 m y está atada al final a un bloque de masa m = 3 kg. No hay rozamiento en los ejes y la cuerda no resbala.

Suponiendo que el sistema está inicialmente en reposo determinar la velocidad del bloque cuando ha descendido una distancia h = 2 m.

Dato: Momento de inercia de un disco con respecto a un eje que pasa por su centro de masas, ICM = (1/2)MR2

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Solución:

Para determinar la velocidad del bloque vamos a utilizar el principio de conservación de la energía. En la siguiente figura se han representado los estados inicial (A) y final (B) del sistema constituido por los dos discos y el bloque. Asimismo se ha indicado el origen de alturas que utilizaremos como referencia para calcular la energía potencial.

En el estado A la energía del sistema es la potencial gravitatoria del bloque. Los discos tienen también energía potencial, pero no va a variar entre el estado A y el B y por tanto no la tenemos en cuenta. Por tanto, la energía en el estado A es:

En el estado B la masa m ha perdido toda su energía potencial. Ahora tiene cinética. Por otra parte, los discos están rotando, por lo que tendrán energía cinética de rotación. La energía total en el estado B viene dada por:

La energía total del sistema se conserva, ya que sobre él no actúa ninguna fuerza no conservativa:

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Por otra parte, podemos relacionar la velocidad angular de cada disco con la lineal de la masa m. Como las cuerdas no deslizan un punto de la periferia de cada disco tendrá la misma velocidad lineal que la masa m. Por tanto:

Despejando las velocidades angulares podemos sustituirlas en la ecuación de conservación de la energía. Además podemos sustituir el valor de los momentos de inercia:

Despejando y sustituyendo los datos del problema:

En este problema se ha tomado g = 10 m/s2.

No olvides poner las unidades en los resultados de los problemas.

 

 

La página Energía cinética de rotación – Dos poleas de distintos radios ha sido originalmente publicada en YouPhysics