Energía cinética de rotación – Dos masas y una polea

Enunciado:

Se tiene una polea homogénea constituida por dos ruedas capaces de girar solidariamente alrededor del mismo eje. El momento de inercia de las dos ruedas juntas es ICM = 40 kg m2. Los radios son: R1 = 1.2 m y R2 = 0.4 m. Las masas que cuelgan a ambos lados de la polea son m1 = 36 kg y m2 = 12 kg (ver figura). La altura inicial de la masa m1 es h1 = 5 m.

  1. Calcular la altura que asciende m2.
  2. Calcular la velocidad angular de la polea.

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Solución:

Para determinar la altura que asciende m2 debemos analizar el arco que barre un punto de la periferia de cada rueda cuando la masa 1 desciende. En la siguiente figura están representados los estados inicial (A) y final (B) del sistema constituido por las dos masas y la polea. También están representados un punto P1 de la periferia de la rueda de radio R1 y un punto P2 de la periferia de la rueda de radio R2.

Como las dos ruedas que constituyen la polea giran solidariamente, el ángulo ϕ barrido por los puntos P1 y P2 será el mismo en el mismo intervalo de tiempo. Además, dichos puntos describen un movimiento circular, por lo que podemos escribir:

Cuando m1 llegue al suelo, la altura h1 que ha descendido será igual al valor del arco recorrido por el punto P1. Y la altura  h2 que ha ascendido la masa 2 será igual al valor del arco recorrido por el punto P2. Por tanto:


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Para calcular la velocidad angular de la polea y la velocidad de las masas utilizaremos el principio de conservación de la energía.

En la figura anterior puedes observar los estados inicial (A) y final (B) del sistema así como el origen de alturas que emplearemos para calcular las energías potenciales. La energía total (o mecánica) en el punto A es la energía potencial gravitatoria de la masa 1 porque los tres cuerpos que constituyen el sistema están en reposo:

En el punto B de la figura el sistema tendrá energía potencial porque la masa 2 ha ascendido hasta la altura h2. Además tendrá la energía cinética de traslación de las dos masas y la energía cinética de rotación de la polea:

Como sobre el sistema no actúa ninguna fuerza no conservativa (rozamiento) la energía total se conserva:

Además podemos relacionar la velocidad lineal de cada masa con la angular de la polea:

Y sustituyendo en la ecuación de conservación de la energía:

La única incógnita de la ecuación anterior es la velocidad angular de la polea. Despejando y sustituyendo los datos del problema así como la altura h2 calculada anteriormente:

En el problema se ha tomado g = 10 m/s2.

No olvides poner las unidades en los resultados de los problemas.

La página Energía cinética de rotación – Dos masas y una polea ha sido originalmente publicada en YouPhysics