Énergie cinétique de rotation - Deux masses et une poulie

Énoncé:

Une poulie homogène est constituée de deux roues qui tournent solidairement autour du même axe. Le moment d’inertie de la poulie est ICM = 40 kg m2. Les rayons des deux roues sont respectivement R1 = 1.2 m et R2 = 0.4 m. Les masses qui sont attachés aux deux côtés de la poulie sont m1 = 36 kg et m2 = 12 kg respectivement (voir la figure). La hauteur initiale de la masse m1 est h1 = 5 m.

  1. Calculez la hauteur à laquelle s’élèvera la masse m2 lorsqu’on libère la poulie.
  2. Calculez la vitesse angulaire de la poulie lorsque m1 touche le sol.

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Solution:

Pour déterminer la hauteur à laquelle s’élèvera la masse m2 nous devons analyser quel est l’arc que parcourt un point de la périphérie pour chacune des deux roues lorsque la masse m1 descend. Nous avons représenté dans la figure ci-dessous les états initial (A) et final (B) du système constitué par les deux masses et la poulie. Nous y avons aussi représenté un point P1 de la périphérie de la roue de rayon R1 ainsi qu’un point P2 de la périphérie de la roue de rayon R2.

Comme les deux roues de la poulie tournent solidairement, l’angle ϕ parcouru par les deux points P1 et P2 sera le même dans un intervalle de temps. Les deux points décrivent un mouvement circulaire, ce qui nous permet d’écrire:

Où s1 est l’arc parcouru par le point P1 et s2 est l’arc parcouru par le point P2.

Lorsque la masse m1 arrive au sol, la hauteur h1 dont elle est descendue est égale à la valeur de l’arc parcouru par le point P1. La hauteur h2 à laquelle s’élève la masse m2 est elle aussi égale à la valeur de l’arc parcouru par le point P2. Par conséquent:


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Pour calculer la vitesse angulaire de la poulie et les vitesses des masses nous utiliserons le principe de la conservation de l’énergie.

Dans la figure précédente vous pouvez voir les états initial (A) et final (B) du système ainsi que l’origine des hauteurs que nous utiliserons pour calculer les énergies potentielles. L’énergie totale (ou mécanique) au point A est l’énergie potentielle gravitationnelle de la masse m1 car les trois corps qui forment le système sont au repos:

Le système aura une énergie potentielle au point B de la figure car la masse m2 s’est élevée à la hauteur h2. Il aura d’autre part l’énergie cinétique de translation des deux masses et l’énergie cinétique de rotation de la poulie:

Comme il n’y a pas de forces non conservatives (frottements) qui agissent sur le système, l’énergie total se conserve:

Nous pouvons faire le lien entre la vitesse linéaire de chaque masse avec la vitesse angulaire de la poulie:

En faisant la substitution dans l’équation de la conservation de l’énergie nous obtenons:

La seule inconnue de l’équation précédente est la vitesse angulaire de la poulie. En faisant la substitution avec les données du problème et la hauteur h2 calculée précédemment nous déduisons:

Nous avons pris g = 10 m/s2 pour résoudre ce problème.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

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