Énergie cinétique de rotation - Deux poulies de rayons différents

Énoncé:

Un disque de masse M1 = 6 kg et de rayon R1 = 0.8 m peut tourner autour d’un axe horizontal (voir la figure). Une corde de masse négligeable est enroulée autour de la périphérie du disque. Elle passe ensuite par un autre disque de masse M2 = 2 kg et de rayon R2 = 0.5 m et elle est attachée à un bloc de masse m = 3 kg. Il n’y a pas de frottement pour les axes de rotation et la corde ne glisse pas.

En supposant que le système soit initialement au repos lorsqu’on le libère, déterminez la vitesse du bloc lorsqu’il descend d’une hauteur h = 2 m.

Donnée: Le moment d’inertie d’un disque par rapport à un axe qui passe par son centre de masse (ou centre d’inertie) est: ICM = (1/2)MR2.

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Solution:

Pour déterminer la vitesse du bloc nous allons utiliser le principe de la conservation de l’énergie. Nous avons représenté les états initial (A) et final (B) du système constitué par les deux disques et le bloc dans la figure ci-dessous. Nous y avons aussi indiqué quel est l’origine des hauteurs que nous utiliserons comme référence pour calculer l’énergie potentielle.

L’énergie du système est l’énergie potentielle gravitationnelle du bloc dans l’état A. Les disques ont eux aussi une énergie potentielle mais comme elle ne varie pas entre les états A et B nous ne la prendrons pas en compte. Par conséquent, l’énergie de l’état A est:

La masse m a perdu toute son énergie potentielle dans l’état B mais elle a alors une vitesse et donc une énergie cinétique. Les disques eux tournent dans cet état, ils ont donc une énergie cinétique de rotation. L’énergie totale (ou mécanique) dans l’état B est donc:

L’énergie totale du système se conserve, car aucune force non conservative n’agit sur lui:

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Nous pouvons d’autre part faire le lien entre la vitesse angulaire de chaque disque avec la vitesse linéaire de la masse m. Comme les cordes ne glissent pas, n’importe quel point de la périphérie des disques aura la même vitesse linéaire que la masse m. Par conséquent:

En déduisant les vitesses angulaires nous pouvons les substituer dans l’équation de la conservation de l’énergie. Nous pouvons aussi faire la substitution des moments d’inertie:

En substituant avec les données de l’énoncé nous obtenons finalement:

Nous avons pris g = 10 m/s2 pour résoudre ce problème.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

 

 

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