Energía cinética de rotación – Velocidad angular de una viga

Enunciado:

Una viga homogénea de masa M y longitud L está sujeta a la pared mediante una articulación y una cuerda como se indica en la figura. El ángulo que forma la viga con la vertical es θ. Si se rompe la cuerda, determinar en función de los datos del problema la velocidad angular de la viga cuando llega a la horizontal.

Dato: Momento de inercia de la viga con respecto a un eje que pasa por su centro de masas, ICM = (1/12)ML2

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Solución:

Para determinar la velocidad angular de la viga cuando llegue a la horizontal utilizaremos el principio de conservación de la energía. En la siguiente figura están representados los dos estados que utilizaremos para aplicarlo así como el origen de alturas que emplearemos para calcular la energía potencial.

En el estado A la viga está en reposo, por lo que su energía será únicamente potencial gravitatoria. La energía potencial de un sólido se calcula tomando como referencia la altura a la que se encuentra su centro de masas.

La energía en el estado A viene por tanto dada por:

Debemos escribir la altura h en función de los datos del problema. En la siguiente figura está representada dicha altura así como el ángulo que vamos a emplear para calcularla:

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En el estado B el centro de masas de la viga está en el origen de alturas, por lo que no tendrá energía potencial gravitatoria. La viga está rotando y por tanto tendrá energía cinética de rotación:

El momento de inercia de la viga con respecto a un eje que pasa por el punto O se determina utilizando el teorema de Steiner:

La energía total de la viga se conserva ya que no hay ninguna fuerza no conservativa (rozamiento) que esté actuando sobre ella. Por tanto:

De la última expresión despejamos la velocidad angular de la viga:

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