Champ électrostatique créé par un fil infini

Nous allons voir dans ce qui suit comment calculer le champ électrostatique (ou électrique) créé par un fil chargé infini. Nous supposerons que la charge est distribuée de façon homogène, et donc que la densité linéique de charge λ est constante. Nous supposerons aussi que la charge totale q du fil est positive; si elle était négative, le champ électrostatique aurait la même norme mais serait de sens opposé à celui que nous allons calculer.

Le fil chargé et le point P de l’espace où nous calculerons le champ électrostatique qu’il crée sont représentés dans la figure suivante:

Dans un premier temps, nous calculerons le champ créé en un point P par un élément du fil de charge dq et de longueur dy. Cet élément de charge se trouve à une distance r du point P et sa coordonnée verticale est y. dq peut être considéré comme étant une charge ponctuelle, le champ qu’il crée au point P est donc:

Et le champ total crée par le fil sera l’intégrale suivante:

Avant de calculer ce type d’intégrale, il est intéressant d’analyser le problème pour voir si il peut être simplifié en utilisant des symétries.

Le champ électrostatique dE créé par l’élément de charge dq ainsi que celui créé par un autre élément de même charge mais de coordonnée verticale -y sont représentés dans la figure suivante. Comme le fil est chargé positivement, dq est une source de lignes de champ, et donc dE pointe dans les deux cas vers l’extérieur du fil. D’autre part, comme le principe de superposition s’applique au champ électrostatique, le champ total au point P sera la somme des champs créés par les deux éléments de charge:

Lorsque l’on fait la somme vectorielle des deux champs dE, la composante verticale s’annule comme vous pouvez l’observer dans la figure ci-dessus. Ce même argument est valable pour tous les éléments de charge et leurs symétriques (ceux dont la coordonnée verticale est opposée). La norme du champ total sera donc l’intégrale des projections sur l’axe horizontal de dE. La norme du champ électrostatique créé par le fil au point P est par conséquent:

L’intégrale doit être évaluée entre -∞ y +∞ car le fil est infini.

À partir de la figure, on peut observer que le cosinus de l’angle α et la distance r sont respectivement:

Et en faisant la substitution dans l’expression du champ total on obtient:

Où l’on a substitué la constante de Coulomb en fonction de la permittivité diélectrique du vide:

En résolvant l’intégrale on obtient:

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Nous pouvons aussi écrire l’intégrale précédente en fonction de l’angle α en écrivant r et y de la façon suivante:

Ce qui donne bien le même résultat qu’avec la méthode précédente.

Le vecteur champ électrostatique s’obtient en multipliant la norme que nous venons de calculer par un vecteur unitaire dans la direction radiale:

Les lignes de champ sont représentées dans la figure suivante:

Le champ électrostatique créé par un fil infini peut être calculé en utilisant le théorème de Gauss.

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