A continuación vamos a calcular el campo creado por un hilo infinito cargado. Supondremos que la carga está distribuida homogéneamente, por lo que la densidad lineal de carga λ es constante. Supondremos también que la carga total q del hilo es positiva; si fuera negativa, el vector campo eléctrico tendría el mismo módulo pero sentido contrario que el que vamos a calcular.
En la figura siguiente se ha representado el hilo cargado así como el punto P del espacio donde vamos a calcular el campo eléctrico que crea:
En primer lugar vamos a calcular el campo que crea en el punto P un elemento del hilo de carga dq y longitud dy. Dicho elemento de carga se encuentra a una distancia r del punto P y su coordenada vertical es y. dq puede ser considerado como una carga puntual, por lo que el campo que crea en el punto P es:
Y el campo total creado por el hilo será la integral siguiente:
Antes de evaluar este tipo de integrales es conveniente analizar previamente el problema para ver si puede ser simplificado utilizando consideraciones de simetría.
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En el dibujo siguiente está representado el campo eléctrico dE creado por el elemento de carga dq así como el que crea otro elemento de carga igual que tiene una coordenada vertical -y. Como el hilo está cargado positivamente, dq es una fuente de líneas de campo, por lo que dE apunta en ambos casos hacia afuera del hilo. Además, el campo eléctrico cumple el principio de superposición, por lo que el campo total en el punto P será la suma del campo creado por ambos elementos de carga:
Al sumar vectorialmente ambos campos dE la componente vertical se anula como se observa en la figura superior. Y el mismo argumento es válido para todos los elementos de carga y sus simétricos, por lo que el módulo del campo total será la integral de las proyecciones sobre el eje horizontal de dE. El módulo del campo eléctrico creado por el hilo en el punto P será por tanto:
La integral debe evaluarse entre -∞ y +∞ porque el hilo es infinito.
De la figura se observa que el coseno del ángulo α y la distancia r vienen dados respectivamente por:
Y sustituyendo en la expresión del campo total:
Donde se ha sustituido la constante de Coulomb en función de la permitividad eléctrica del vacío:
Resolviendo la integral:
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Podemos escribir la integral anterior en función del ángulo α escribiendo r e y:
Dando el mismo resultado que por el método anterior.
Y el vector campo eléctrico se obtiene multiplicando el módulo que acabamos de obtener por un vector unitario en la dirección radial:
En la figura siguiente están representadas las líneas de campo:
El campo eléctrico creado por un hilo infinito puede calcularse utilizando la ley de Gauss.
La página Campo eléctrico creado por un hilo infinito ha sido originalmente publicada en YouPhysics
